BAB II. GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

Titik Diskrit

Titik Kontinu

2.1       Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi

Ax + By + C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil

Contoh 1

Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1) 

Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan kurva

Garis melalui A(1, 2) ⇒A(1) + B(2) + C = 0 ⇒ A + 2B + C = 0 ---------- pers. 1

Garis melalui B(-3, 4) ⇒ A(3) + B(-4) + C = 0 ⇒ -3A + 4B + C = 0 ----- pers. 2

Garis melalui C(5, 0) ⇒ A(5) + B(0) + C = 0 ⇒ 5A + C = 0 -------------- pers. 3

Langkah 2) 

Membuat sistem persamaan linier tiga variabel 

−𝐴+2𝐵+𝐶=03𝐴+4𝐵+𝐶=05𝐴+𝐶=0

Langkah 3) 

Menyelesaikan sistem persamaan linier

Penyelesaian sistem persamaan linier di atas yaitu :

A = 1, B = 2 dan C = -5

Maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis yang melalui A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) yaitu x + 2y - 5 = 0

Sketsa garis tersebut pada sistem koordinat Cartesius seperti gambar di atas.

Garis x + 2y - 5 = 0 seperti ditunjukkan pada gambar di atas membentuk sudut terhadap sumbu x positif. Besarnya sudut yang terbentuk tersebut akan mempengaruhi kemiringan garis. Sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dinamakan sudut inklinasi garis (angle of inclination) dan biasanya dinotasikan oleh sudut α. Kemiringan suatu garis dinamakan gradien (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m.

MENDESKRIPSIKAN GARIS BERDASARKAN GRADIEN DAN SUDUT INKLINASI

OR ⊥ AB, sehingga 

Tabel 1. Hubungan antara gradien, sudut inklinasi, dan bentuk garis

Nilai Gradien (m)	Nilai sudut inklinasi (α)	Deskripsi bentuk garis
m > 0	sudut lancip	Dari kiri bawah ke kanan atas ( / )
m = 0	α = 0०	Mendatar, sejajar sumbu x (­一)
m < 0	sudut tumpul	Dari kiri atas ke kanan bawah ( \ )

2.2 Sifat-sifat Garis dalam Bidang : Kesejajaran dan Perpotongan

         Sifat-sifat garis yang berada dalam sebuah bidang dalam geometri Euclide meliputi garis-garis yang berpotongan atau tidak berpotongan. Dua buah garis dikatakan berpotongan jika ada sebuah titik potong yang dilalui kedua garis. Dua garis tidak berpotongan disebut saling sejajar.

Contoh Soal :

Dua buah garis m dan n berpotongan di titik (-1, 3) dan membentuk sudut 30०. Tentukan persamaan kedua garis tersebut.

Penyelesaian :

Diketahui : A (-1,3), 

                      Garis m dan n berpotongan

                 sudut berpotongan : 30०

Ditanya : Persamaan kedua garis m dan n

Jawab:

Titik potong di (0,0)

 Garis n1

Persamaan dengan titik (-3,2) dan m = 7

Garis n2

Persamaan dengan titik (-3,2) dan m = -1

2.3 Persamaan Normal Sebuah Garis

x cos 𝛃 + y sin 𝛃 - p = 0

dengan, 

Contoh soal

     Misalkan x menyatakan suhu dalam derajat Celsius (centigrade) dan variabel y menyatakan suhu dalam derajat Fahrenheit. Ukuran suhu 0°C setara dengan 32°F, dan suhu 100°C sama dengan 212°F. Tentukan persamaan garis yang menyatakan hubungan suhu y Fahrenheit terhadap suhu x Celsius dalam bentuk y = mx + c. Ubahlah persamaan tersebut dalam persamaan normal. Buatlah grafik garis pada sistem koordinat Cartesius, tentukan titik-titik potong garis dengan sumbu koordinat.

Penyelesaian :

Diketahui :
x menyatakan suhu dalam derajat Celsius
y menyatakan suhu dalam derajat Fahrenheit
0°C setara dengan 32°F
suhu 100°C sama dengan 212°F

Ditanya :
1. Persamaan garis 
2. Persamaan normal garis tersebut.
3. grafik garis pada sistem koordinat Cartesius.

Jawab :

1. Persamaan Garis

   Menggunakan persamaan gradien

2) Persamaan Normal garis tersebut

 y = 1,8x + 30, maka m = 1,8

𝛂 = arc tan m

𝛂 = arc tan 1,8

𝛂 = 60,95◦

𝛃 = 90° + 60,95°

𝛃 = 150,95°

Misalkan titik potong di y = 0, maka x = -16,67

p = -16,67 . cos 150,95°

p = -16,67 . -0,87

p = 14,5 

Persaam Normal garis :

x cos 𝛃 + y sin 𝛃 - p = 0

x cos 150,95° + y sin 150,95° - 14,5 = 0

x (-0,87) + y (0,48) - 14,5 = 0

-0,87x + 0,48y - 14,5 = 0

Jadi persamaan normal dari  y = 1,8x + 30 adalah -0,87x + 0,48y - 14,5 = 0

3) Grafik