BAB VI. PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

PERSAMAAN PARAMETRIK

Bentuk persamaan parametrik Elips dan hiperbola merupakan kurva di bidang yang bukan merupakan grafik dari suatu fungsi. Jadi, elips dan hiperbola tidak dapat dinyatakan dalam persamaan y = f(x). Namun,dengan menggunakan parameter t, elips dan hiperbola dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), dengan t ∈ I, untuk suatu interval I. 

V = V (t) = (d / dt) f(t) yaitu turunan pertama dari f(t) terhadap t

Laju (besarnya kecepatan) adalah |V| yakni nilai mutlak dari kecepatan

Percepatan sebuah partikel yang bergerak adalah kecepatan perubahan terhadap waktu dari kecepatannya yang ditentukan oleh

a = a(t) = (d/dt) V(t), yaitu turunan pertama dari V(t) terhadap t

Karena V(t) = (d/dt) f(t), maka a(t) = d/dt ((d/dt) f(t)) = d²/dt² f(t), yaitu turunan kedua dari f(t) terhadap t

S = f(t), V=V(t) dan a(t) dengan t suatu interval waktu. Misalnya t∈[a,b] adalah suatu contoh persamaan parametrik dengan parameter t.




VEKTOR PADA BIDANG

Vektor : segmen garis berarah yang mempunyai besaran. Jadi, vektor adalah besaran yang mempunyai arah, misalnya : kecepatan, momen, gaya, percepatan, berat, dll.
  
Skalar : suatu besaran yang tidak mempunyai arah. Misalnya, panjang, luas, jarak, ,suhu, dll.

Penjumlahan Vektor
Penjumlahan dua buah vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponen-komponennya adalah jumlah dari kedua komponen-komponen vektor pembentuknya.

Sekarang jika terdapat dua buah vektor A dan B yang memiliki besar dan arah masingmasing seperti yang ditunjukkan oleh gambar dibawah, maka vektor R merupakan vektor hasil penjumlahan kedua vektor tersebut.

Jumlah Vektor A dan B

Aturan yang harus diikuti dalam penjumalahan vektor secara geometris adalah sebagai berikut : Pada diagram yang telah disesuaikan skalanya, mula-mula letakkan vektor A, kemudian gambarakan vektor B dengan pangkalnya terletak pada ujung A dan akhirnya ditarik garis dari panggak A ke ujung B yang menyatakan vektor hasil penjumlahan R. Vektor ini menyatakan pergeseran yang panjang dan arahnya setara dengan pergeseran berturutan A dan B. Cara ini dapat diperluas dalan hal yang lebih umum, untuk memperoleh jumlah beberapa pergeseran berturutan.

Simbol “+” pada gambar diatas memiliki arti yang sama sekali berbeda dengan arti penjumlahan dalam ilmu hitung atau aljabar skalar biasa. Simbol ini menghendaki sekumpulan operasi yang betul-betul berbeda. Berdasarkan gambar diatas, dapat dibuktikan dua buah sifat penting dalam penjumlahan vektor, yaitu ;

Hukum Komutatif :

A + B = B + A (5)

Hukum Asosiatif :

D + (E + F) = (D + E) + F (6)

Kedua hukum ini menyatakan bahwa bagaimanapun urutan ataupun pengelompokkan vektor dalam enjumlahan, hasilnya tidak akan berbeda. Dalam hal ini penjumlahan vektor dan penjumlahan skalar memenuhi aturan yang sama.

Selisih Vektor

Operasi pengurangan vektor dapat dimasukkan ke dalam aljabar dengan mendefinisikan negatif suatu vektor sebagai sebuah vektor lain yang besarnya sama, tetapi arahnya berlawanan, sehingga :

A – B = A + (- B)

Selisih Vektor

Berikut ini sifat-sifat hasil kali titik
Teorema :
    Jika u, v dan w vektor-vektor sebarang c suatu skalar, maka
1. u . v = v . u
2. u . ( v + w ) = u . v + u . w
3. c ( u . v ) = ( c u ) . v = u . (c v)
4. o . u = 0
5. u . u = | u |²
6. u . v = 0 bila dan hanya bila u ⊥ v atau u = 0 atau v = 0

Selanjutnya kita akan mencari persamaan vektor untuk suatu garis lurus.
diketahui titik D (d₁, d₂) dan sebuah vektor u = < u₁, u₂ >

DW = w - d

Karena garis l sejajar u dan DW pada l, maka DW sejajar u sehingga ada bilangan real (skalar). k sedemikian hingga

DW = k u

w - d = k u

w = d + k u dengan k suatu parameter

Persamaan w = d + k u disebut persamaan vektor garis yang melalui titik D dan searah / sejajar denagn u.

w adalah vektor posisi sembarang titik pada garis

d adalah vektor posisi titik D dan disebut vektor tumpu

u adalah vektor arah dari garis yang dicari 

k suatu parameter

Catatan : semua vektor posisi terhadap titik O (0 sebagai titik pangkal dari vektor posisi)

Persamaan vektor tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan Kartesius sebagai berikut :

w = d + k u 

Dari persamaan vektor ini diperoleh persamaan parametrik garis l, yaitu 

x = d₁ + k u₁                        y = d₂ + u₂ 

V (x,y) sembarang titik pada lingkaran yang vektor posisinya adalah v = <x,y>
Misalkan p = <a,b> adalah vektor posisi titik P
maka PV = v - p.
Karena PV . PV = | PV |² = r dan V sembarang titik pada lingkaran, maka (v - p) . (v - p) = r². Adalah suatu persamaan vektor lingkaran yang dicari.

Persamaan Kartesiusnya dicari dengan mensubstitusikan v =<x,y> dan p = <a,b>, maka diperoleh

(x - a)² + (y - b)² = r²

Mengingat persamaan parametrik suatu lingkaran dengan pusat P(s,b) dan berjari-jari r adalah 

x = a + r cos t                 y = b + r sin t               ;  0≤ t ≤ 2π

Maka persamaan vektor lingkaran itu dapat pula dinyatakan oleh

v(t) = (a + r cos t) i + (b + r sin t ) j

v(t) = < a + r cos t , b + r sin t >