1.1 Sistem Koordinat Kutub
Dua orang Perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descartes, telah
memperkenalkan system koordinat yang sekarang kita kenal dengan sebutan
system koordinat Cartesius atau siku-siku. Dasar pemikiran mereka ialah untuk
menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulis
dengan lambang (x,y) setiap bilangan menggambarkan jarak berarah dari dua
sumbu yang tegak lurus sesamanya (Gambar 7.1). Sistem koordinat ini adalah dasar
dari geometri analitik, dan sangat membantu pengembangan kalkulus diferensial
dan kalkulus integral yang kita capai hingga saat ini.
Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah satusatumya
jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lain
adalah menggunakan apa yang disebut koordinat kutub.
1.2 Koordinat Kutub
Kita mulai dengan menggambar sebuah setengah-garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal pada sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau titik asal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuah system koordinat siku-siku. Setiap titik P (selain dari kutub) adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari 0. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka (r, θ) dinamakan sepasang koordinat kutub dari titik P (Gambar 7.2). Titik-titik yang dilukiskan oleh koordinat kutub paling mudah digambar apabila kita menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas demikian telah tergambar lingkaranlingkaran yang sepusat dan sinar-sinar yang memancar dari pusat itu. Kita dapat melihatnya pada Gambar 4.3, pada gambar ini telah terlukis beberapa titik.
Perhatikan sebuah sifat berikut yang tidak ada pada sebuah system koordinat Cartesius. Tiap titik memiliki banyak koordinat kutub. Ini adalah akibat sifat bahwa sudut-sudut θ + 2πn, n = 0, ±1, ±2,…memiliki kaki-kaki yang sama. Misalnya, titik dengan koordinat kutub (4, π/2) juga memiliki koordinat (4, 5π/2), (4, 9π/2), (-4, 3π/2), dan seterusnya. Bahkan hal ini berlaku juga jika r diperbolehkan memiliki nilai yang negatif. Dalam hal ini (r, θ) terletak pada sinar yang berlawanan arah dengan sinar yang dibentuk oleh θ dan yang terletak r satuan dari titik asal. Dengan demikian, titik dengan koordinat kutub (-3, π/6) dapat kita lihat pada Gambar 4.4, sedangkan (-4, 3π/2) adalah koordinat lain untuk (4, π/2). Titik asal mempunyai koordinat (0, θ), di mana θ sudut sembarang.
Contoh 1: Gambarlah grafik persamaan kutub r = 8 sin θ
Penyelesaian : Kita ganti kelipatan π/6 untuk θ dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Apabila θ naik dari 0 hingga 2π, grafik dilintasi dua kali
Contoh 2: Gambarlah grafik dari r = 2/(1 - cos θ)
Penyelesaian : Lihat Gambar 4.6. Perhatikan gejala yang tidak akan terjadi dengan system koordinat siku-siku. Koordinat (-2, 3π/2) tidak memenuhi persamaan. Walaupun demikian titik P (-2, 3π/2) terletak pada grafik, sebab (2, π/2) merupakan koordinat P dan memang memenuhi persamaan tersebut. Kita dapat menarik kesimpulan bahwa dalam system koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidak memenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yang bersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu. Kenyataan ini mengakibatkan banyak kesulitan; kita harus belajar terbiasa dengan kenyataan tersebut.
Contoh : Tentukan koordinat Cartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah (4, π/6). Tentukan juga koordinat kutub titik yang koordinat Cartesiusnya adalah (-3, 3 ).
Penyelesaian : Jika (r, θ) = (4, π/6), maka
r² = (-3)² + ( √3 )² = 12
Salah satu nilai (r, θ) adalah (2√3 , 5π/6).
Nilai lainnya adalah (-2√3 , -11π/6) dan (-2√3 , -π/6)
Ada kalanya grafik persamaan kutub dapat kita lukis dengan mencari persamaannya dalam system Cartesius. Sebagai contoh kita sajikan kasus di bawah ini.
Contoh 1 : Ubahlah A(1,2) ke bentuk koordinat polar
Penyelesaian :
Contoh 2 : Ubahlah (4 ; 135⁰) ke bentuk koordinat kartesius
Penyelesaian :
x = r . cos θ
= 4 . cos 135⁰
= 4 . -0,707
= -2,828
y = r . sin θ
= 4 . sin 135⁰
= 4 . 0,707
= 2,828
jadi, (4 ; 135⁰) = (-2,828 ; 2,828)
PERSAMAAN KUTUB DAN GRAFIKNYA
Kita mulai dengan menggambar sebuah setengah-garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal pada sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau titik asal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuah system koordinat siku-siku. Setiap titik P (selain dari kutub) adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari 0. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka (r, θ) dinamakan sepasang koordinat kutub dari titik P (Gambar 7.2). Titik-titik yang dilukiskan oleh koordinat kutub paling mudah digambar apabila kita menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas demikian telah tergambar lingkaranlingkaran yang sepusat dan sinar-sinar yang memancar dari pusat itu. Kita dapat melihatnya pada Gambar 4.3, pada gambar ini telah terlukis beberapa titik.
Perhatikan sebuah sifat berikut yang tidak ada pada sebuah system koordinat Cartesius. Tiap titik memiliki banyak koordinat kutub. Ini adalah akibat sifat bahwa sudut-sudut θ + 2πn, n = 0, ±1, ±2,…memiliki kaki-kaki yang sama. Misalnya, titik dengan koordinat kutub (4, π/2) juga memiliki koordinat (4, 5π/2), (4, 9π/2), (-4, 3π/2), dan seterusnya. Bahkan hal ini berlaku juga jika r diperbolehkan memiliki nilai yang negatif. Dalam hal ini (r, θ) terletak pada sinar yang berlawanan arah dengan sinar yang dibentuk oleh θ dan yang terletak r satuan dari titik asal. Dengan demikian, titik dengan koordinat kutub (-3, π/6) dapat kita lihat pada Gambar 4.4, sedangkan (-4, 3π/2) adalah koordinat lain untuk (4, π/2). Titik asal mempunyai koordinat (0, θ), di mana θ sudut sembarang.
Contoh 1: Gambarlah grafik persamaan kutub r = 8 sin θ
Penyelesaian : Kita ganti kelipatan π/6 untuk θ dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Apabila θ naik dari 0 hingga 2π, grafik dilintasi dua kali
Contoh 2: Gambarlah grafik dari r = 2/(1 - cos θ)
Penyelesaian : Lihat Gambar 4.6. Perhatikan gejala yang tidak akan terjadi dengan system koordinat siku-siku. Koordinat (-2, 3π/2) tidak memenuhi persamaan. Walaupun demikian titik P (-2, 3π/2) terletak pada grafik, sebab (2, π/2) merupakan koordinat P dan memang memenuhi persamaan tersebut. Kita dapat menarik kesimpulan bahwa dalam system koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidak memenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yang bersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu. Kenyataan ini mengakibatkan banyak kesulitan; kita harus belajar terbiasa dengan kenyataan tersebut.
Hubungan dengan Koordinat Cartesius
Andaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif system koordinat Cartesius.
Maka koordinat kutub (r, θ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x, y) titik itu
dihubungkan oleh persamaan :
x = r cos θ y = r sin θ
r² = x² + y² θ = tan x/y
Hubungan tersebut jelas berlaku untuk sebuah titik P yang berada di dalam kuadran pertama, yang dapat kita lihat pada Gambar mudah dibuktikan untuk titik-titik dalam kuadran lain.
Penyelesaian : Jika (r, θ) = (4, π/6), maka
x = 4 cos π/6 = 4 . 1/2 √3 = 2 √3
y = 4 sin π/6 = 4 . 1/2 = 2
Jadi titik (4,π/6) dalam koordinat kutub dapat dinyatakan dalam koordinat Kartesius sebagai (2√3,2)
Misalkan (x, y) = (-3, √3 ), yaitu titik dalam kuadran II, maka θ harus tumpulr² = (-3)² + ( √3 )² = 12
r = 2√3
tan θ = √3/(-3)
θ = (5π/6
Salah satu nilai (r, θ) adalah (2√3 , 5π/6).
Nilai lainnya adalah (-2√3 , -11π/6) dan (-2√3 , -π/6)
Ada kalanya grafik persamaan kutub dapat kita lukis dengan mencari persamaannya dalam system Cartesius. Sebagai contoh kita sajikan kasus di bawah ini.
Contoh 1 : Ubahlah A(1,2) ke bentuk koordinat polar
Penyelesaian :
r² = x² + y²
= 1² + 2²
= 5
jadi, r = √5
θ = arc tan y/x
=arc tan 2/1
= arc tan 2
= 63,44⁰
jadi didapatkan bahwa titik A(1,2) = (√5 ; 63,44⁰)Contoh 2 : Ubahlah (4 ; 135⁰) ke bentuk koordinat kartesius
Penyelesaian :
x = r . cos θ
= 4 . cos 135⁰
= 4 . -0,707
= -2,828
y = r . sin θ
= 4 . sin 135⁰
= 4 . 0,707
= 2,828
jadi, (4 ; 135⁰) = (-2,828 ; 2,828)
PERSAMAAN KUTUB DAN GRAFIKNYA
Grafik persamaan kutub yang telah dibahas sebelumnya terdiri atas garis, lingkaran dan konik. Sekarang kita akan membahas grafik-grafik yang lebih rumit bentuknya, yaitu kardioid, limason, mawar dan spiral. Walaupun bentuk grafiknya rumit, namun persamaannya tetap sederhana kalu digunakan persamaan kutub. Dituangkan dengan koordinat siku-siku, persamaannya tidak lagi sederhana. Jadi kita dapat melihat keuntungan adanya system koordinat ini. Ada kurva-kurva yang persamaannya sederhana dalam suatu system dan ada kurva yang persamaannya sederhana dalam system lain. Sifat demikian akan kita gunakan kelak untuk memecahkan suatu persoalan dengan memilih suatu system koordinat yang tepat.
Sifat simetri dapat membantu kita menggambar sebuah grafik. Di bawah ini ada beberapa pengujian kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. Kebenarannya dapat dilihat pada gambar yang bersangkutan.
1. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x (yaitu sumbu kutub dan perpanjangannya ke kiri) apabila θ diganti dengan -θ menghasilkan persamaan yang sama
2. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y (yaitu garis θ = π/2) apabila θ diganti dengan π-θ menghasilkan persamaan yang sama
3. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal, apabila r diganti –r menghasilkan persamaan yang sama
Karena penggambaran banyak titik di dalam koordinat kutub, maka kemungkinan adanya simetri tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.
Kardiod dan Limason
Kita perhatikan persamaan yang berbentuk
a, b konstanta yang positif. Grafiknya dinamakan limason, di mana dalam hal khusus yaitu untuk a = b disebut kardiod. Grafiknya untuk tiap-tiap kasus dapat dilihat pada gambar dibawah ini :
Lemniskat
Grafik dari:
Maka grafiknya adalah simetrik terhadap sumbu x dan sumbu y (garis θ = π/2). Jadi simetrik juga terhadap titik asal. Daftar nilai dan grafik diperlihatkan pada gambar dibawah ini :
Mawar
Grafik persamaan kutub yang berbentuk
Spiral
Grafik persamaan r = aθ disebut spiral Archimedes; grafik persamaan r = ae^(𝖻θ) dinamakan spiral logaritma.
Kardiod dan Limason
Kita perhatikan persamaan yang berbentuk
r = a ± b cos θ r = a ± b sin θ
a, b konstanta yang positif. Grafiknya dinamakan limason, di mana dalam hal khusus yaitu untuk a = b disebut kardiod. Grafiknya untuk tiap-tiap kasus dapat dilihat pada gambar dibawah ini :
Grafik dari:
r² = ± a cos 2θ r² = ± a sin 2θ
dinamakan lemniskat, dan berbentuk angka delapan.Maka grafiknya adalah simetrik terhadap sumbu x dan sumbu y (garis θ = π/2). Jadi simetrik juga terhadap titik asal. Daftar nilai dan grafik diperlihatkan pada gambar dibawah ini :
Grafik persamaan kutub yang berbentuk
r = a cos nθ r = a sin nθ
adalah kurva-kurva berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Banyaknya daun mawar itu adalah n apabila n ganjil dan 2n apabila n genap.
Spiral
Grafik persamaan r = aθ disebut spiral Archimedes; grafik persamaan r = ae^(𝖻θ) dinamakan spiral logaritma.
Komentar ini telah dihapus oleh administrator blog.
BalasHapus