BAB VII. KOORDINAT KARTESIUS, VEKTOR DAN PERSAMAAN BIDANG DALAM RUANG DIMENSI

KOORDINAT KARTESIUS DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

OKTAN I
dimana x = (+) , y = (+) , z = (+)

OKTAN II
dimana x = (+) , y = (-) , z = (+)

OKTAN III
dimana x = (-) , y = (-) , z = (+)

OKTAN IV
dimana x = (-) , y = (+) , z = (+)

 OKTAN V
dimana x = (+) , y = (+) , z = (-)

OKTAN VI
dimana x = (+) , y = (-) , z = (-)

OKTAN VII
dimana x = (-) , y = (-) , z = (-)

OKTAN VIII
dimana x = (-) , y = (+) , z = (-)

Menggambar Persamaan Garis

1. x + 2y + z = 4

Titik potong sumbu x 

y = z = 0 , maka titik nya (4,0,0)

Titik potong sumbu y

x = z = 0 , maka titik nya (0,2,0)

Titik potong sumbu z

y = x = 0 , maka titik nya (0,0,4)

Gambarnya sebagai berikut :

2. x + 2z = 6

Titik potong sumbu x 

y = z = 0 , maka titik nya (6,0,0)

Titik potong sumbu y

x = z = 0 , maka titik nya (0,0,0)

Titik potong sumbu z

y = x = 0 , maka titik nya (0,0,3)

Gambarnya sebagai berikut :

3. x - 2y + 2z = 4

Titik potong sumbu x 

y = z = 0 , maka titik nya (4,0,0)

Titik potong sumbu y

x = z = 0 , maka titik nya (0,-2,0)

Titik potong sumbu z

y = x = 0 , maka titik nya (0,0,2)

Gambarnya sebagai berikut :

4. x + 3y = 9

Titik potong sumbu x 

y = z = 0 , maka titik nya (9,0,0)

Titik potong sumbu y

x = z = 0 , maka titik nya (0,3,0)

Titik potong sumbu z

y = x = 0 , maka titik nya (0,0,0)

Gambarnya sebagai berikut :

PERSAMAAN BIDANG DATAR

Sudut antara Dua Bidang

Jika diketahui dua bidang, yaitu A₁x + B₁y + C₁z= D dan A₂x + B₂y + C₂z= D₂

(1) Jika θ adalah sudut antara dua bidang ini, maka

(2) Dua bidang tersebut saling tegak lurus, apabila 

(3) Dua bidang tersebut sejajar, apabila 

(4) Dua bidang tersebut berimpitan 

     Jika d adalah jarak titi P(x₁, y₁, z₁) kebidang Ax + By + Cz = D maka

 

     Persamaan bidang yang melalui tiga titik (x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂) dan (x₃, y₃, z₃) adalah

BAB VI. PERSAMAAN PARAMETRIK DAN VEKTOR PADA BIDANG

PERSAMAAN PARAMETRIK

Bentuk persamaan parametrik Elips dan hiperbola merupakan kurva di bidang yang bukan merupakan grafik dari suatu fungsi. Jadi, elips dan hiperbola tidak dapat dinyatakan dalam persamaan y = f(x). Namun,dengan menggunakan parameter t, elips dan hiperbola dapat dinyatakan dalam persamaan parametrik x = f(t), y = g(t), dengan t ∈ I, untuk suatu interval I. 

V = V (t) = (d / dt) f(t) yaitu turunan pertama dari f(t) terhadap t

Laju (besarnya kecepatan) adalah |V| yakni nilai mutlak dari kecepatan

Percepatan sebuah partikel yang bergerak adalah kecepatan perubahan terhadap waktu dari kecepatannya yang ditentukan oleh

a = a(t) = (d/dt) V(t), yaitu turunan pertama dari V(t) terhadap t

Karena V(t) = (d/dt) f(t), maka a(t) = d/dt ((d/dt) f(t)) = d²/dt² f(t), yaitu turunan kedua dari f(t) terhadap t

S = f(t), V=V(t) dan a(t) dengan t suatu interval waktu. Misalnya t∈[a,b] adalah suatu contoh persamaan parametrik dengan parameter t.




VEKTOR PADA BIDANG

Vektor : segmen garis berarah yang mempunyai besaran. Jadi, vektor adalah besaran yang mempunyai arah, misalnya : kecepatan, momen, gaya, percepatan, berat, dll.
  
Skalar : suatu besaran yang tidak mempunyai arah. Misalnya, panjang, luas, jarak, ,suhu, dll.

Penjumlahan Vektor
Penjumlahan dua buah vektor ialah mencari sebuah vektor yang komponen-komponennya adalah jumlah dari kedua komponen-komponen vektor pembentuknya.

Sekarang jika terdapat dua buah vektor A dan B yang memiliki besar dan arah masingmasing seperti yang ditunjukkan oleh gambar dibawah, maka vektor R merupakan vektor hasil penjumlahan kedua vektor tersebut.

Jumlah Vektor A dan B

Aturan yang harus diikuti dalam penjumalahan vektor secara geometris adalah sebagai berikut : Pada diagram yang telah disesuaikan skalanya, mula-mula letakkan vektor A, kemudian gambarakan vektor B dengan pangkalnya terletak pada ujung A dan akhirnya ditarik garis dari panggak A ke ujung B yang menyatakan vektor hasil penjumlahan R. Vektor ini menyatakan pergeseran yang panjang dan arahnya setara dengan pergeseran berturutan A dan B. Cara ini dapat diperluas dalan hal yang lebih umum, untuk memperoleh jumlah beberapa pergeseran berturutan.

Simbol “+” pada gambar diatas memiliki arti yang sama sekali berbeda dengan arti penjumlahan dalam ilmu hitung atau aljabar skalar biasa. Simbol ini menghendaki sekumpulan operasi yang betul-betul berbeda. Berdasarkan gambar diatas, dapat dibuktikan dua buah sifat penting dalam penjumlahan vektor, yaitu ;

Hukum Komutatif :

A + B = B + A (5)

Hukum Asosiatif :

D + (E + F) = (D + E) + F (6)

Kedua hukum ini menyatakan bahwa bagaimanapun urutan ataupun pengelompokkan vektor dalam enjumlahan, hasilnya tidak akan berbeda. Dalam hal ini penjumlahan vektor dan penjumlahan skalar memenuhi aturan yang sama.

Selisih Vektor

Operasi pengurangan vektor dapat dimasukkan ke dalam aljabar dengan mendefinisikan negatif suatu vektor sebagai sebuah vektor lain yang besarnya sama, tetapi arahnya berlawanan, sehingga :

A – B = A + (- B)

Selisih Vektor

Berikut ini sifat-sifat hasil kali titik
Teorema :
    Jika u, v dan w vektor-vektor sebarang c suatu skalar, maka
1. u . v = v . u
2. u . ( v + w ) = u . v + u . w
3. c ( u . v ) = ( c u ) . v = u . (c v)
4. o . u = 0
5. u . u = | u |²
6. u . v = 0 bila dan hanya bila u ⊥ v atau u = 0 atau v = 0

Selanjutnya kita akan mencari persamaan vektor untuk suatu garis lurus.
diketahui titik D (d₁, d₂) dan sebuah vektor u = < u₁, u₂ >

DW = w - d

Karena garis l sejajar u dan DW pada l, maka DW sejajar u sehingga ada bilangan real (skalar). k sedemikian hingga

DW = k u

w - d = k u

w = d + k u dengan k suatu parameter

Persamaan w = d + k u disebut persamaan vektor garis yang melalui titik D dan searah / sejajar denagn u.

w adalah vektor posisi sembarang titik pada garis

d adalah vektor posisi titik D dan disebut vektor tumpu

u adalah vektor arah dari garis yang dicari 

k suatu parameter

Catatan : semua vektor posisi terhadap titik O (0 sebagai titik pangkal dari vektor posisi)

Persamaan vektor tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan Kartesius sebagai berikut :

w = d + k u 

Dari persamaan vektor ini diperoleh persamaan parametrik garis l, yaitu 

x = d₁ + k u₁                        y = d₂ + u₂ 

V (x,y) sembarang titik pada lingkaran yang vektor posisinya adalah v = <x,y>
Misalkan p = <a,b> adalah vektor posisi titik P
maka PV = v - p.
Karena PV . PV = | PV |² = r dan V sembarang titik pada lingkaran, maka (v - p) . (v - p) = r². Adalah suatu persamaan vektor lingkaran yang dicari.

Persamaan Kartesiusnya dicari dengan mensubstitusikan v =<x,y> dan p = <a,b>, maka diperoleh

(x - a)² + (y - b)² = r²

Mengingat persamaan parametrik suatu lingkaran dengan pusat P(s,b) dan berjari-jari r adalah 

x = a + r cos t                 y = b + r sin t               ;  0≤ t ≤ 2π

Maka persamaan vektor lingkaran itu dapat pula dinyatakan oleh

v(t) = (a + r cos t) i + (b + r sin t ) j

v(t) = < a + r cos t , b + r sin t >

BAB V. KOORDINAT DAN PERSAMAAN KUTUB

KOORDINAT KUTUB

1.1 Sistem Koordinat Kutub 

   Dua orang Perancis yaitu Pierre Fermat dan Rene Descartes, telah memperkenalkan system koordinat yang sekarang kita kenal dengan sebutan system koordinat Cartesius atau siku-siku. Dasar pemikiran mereka ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan yang ditulis dengan lambang (x,y) setiap bilangan menggambarkan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus sesamanya (Gambar 7.1). Sistem koordinat ini adalah dasar dari geometri analitik, dan sangat membantu pengembangan kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang kita capai hingga saat ini. Dengan memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah satusatumya jalan untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lain adalah menggunakan apa yang disebut koordinat kutub.

1.2 Koordinat Kutub
     Kita mulai dengan menggambar sebuah setengah-garis tetap yang dinamakan sumbu kutub yang berpangkal pada sebuah titik 0. Titik ini disebut kutub atau titik asal. Biasanya sumbu kutub ini kita gambar mendatar dan mengarah ke kanan dan oleh sebab itu sumbu ini dapat disamakan dengan sumbu x positif pada sebuah system koordinat siku-siku. Setiap titik P (selain dari kutub) adalah perpotongan antara sebuah lingkaran tunggal yang berpusat di 0 dan sebuah sinar tunggal yang memancar dari 0. Jika r adalah jari-jari lingkaran dan θ adalah salah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub, maka (r, θ) dinamakan sepasang koordinat kutub dari titik P (Gambar 7.2). Titik-titik yang dilukiskan oleh koordinat kutub paling mudah digambar apabila kita menggunakan kertas grafik kutub. Pada kertas demikian telah tergambar lingkaranlingkaran yang sepusat dan sinar-sinar yang memancar dari pusat itu. Kita dapat melihatnya pada Gambar 4.3, pada gambar ini telah terlukis beberapa titik.

Perhatikan sebuah sifat berikut yang tidak ada pada sebuah system koordinat Cartesius. Tiap titik memiliki banyak koordinat kutub. Ini adalah akibat sifat bahwa sudut-sudut θ + 2πn, n = 0, ±1, ±2,…memiliki kaki-kaki yang sama. Misalnya, titik dengan koordinat kutub (4, π/2) juga memiliki koordinat (4, 5π/2), (4, 9π/2), (-4, 3π/2), dan seterusnya. Bahkan hal ini berlaku juga jika r diperbolehkan memiliki nilai yang negatif. Dalam hal ini (r, θ) terletak pada sinar yang berlawanan arah dengan sinar yang dibentuk oleh θ dan yang terletak r satuan dari titik asal. Dengan demikian, titik dengan koordinat kutub (-3, π/6) dapat kita lihat pada Gambar 4.4, sedangkan (-4, 3π/2) adalah koordinat lain untuk (4, π/2). Titik asal mempunyai koordinat (0, θ), di mana θ sudut sembarang.

Contoh 1: Gambarlah grafik persamaan kutub r = 8 sin θ

Penyelesaian : Kita ganti kelipatan π/6 untuk θ dan menghitung nilai r yang bersangkutan. Apabila θ naik dari 0 hingga 2π, grafik dilintasi dua kali

Contoh 2: Gambarlah grafik dari r = 2/(1 - cos θ)

Penyelesaian : Lihat Gambar 4.6. Perhatikan gejala yang tidak akan terjadi dengan system koordinat siku-siku. Koordinat (-2, 3π/2) tidak memenuhi persamaan. Walaupun demikian titik P (-2, 3π/2) terletak pada grafik, sebab (2, π/2) merupakan koordinat P dan memang memenuhi persamaan tersebut. Kita dapat menarik kesimpulan bahwa dalam system koordinat kutub, walaupun ada sepasang koordinat tertentu yang tidak memenuhi suatu persamaan, tetapi ini tidak perlu mengakibatkan bahwa titik yang bersangkutan tidak terletak pada grafik persamaan itu. Kenyataan ini mengakibatkan banyak kesulitan; kita harus belajar terbiasa dengan kenyataan tersebut.

Hubungan dengan Koordinat Cartesius 

Andaikan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x positif system koordinat Cartesius. Maka koordinat kutub (r, θ) sebuah titik P dan koordinat Cartesius (x, y) titik itu dihubungkan oleh persamaan : 

 x = r cos θ                           y = r sin θ 

r² = x² + y²                          θ = tan x/y 

Hubungan tersebut jelas berlaku untuk sebuah titik P yang berada di dalam kuadran pertama, yang dapat kita lihat pada Gambar mudah dibuktikan untuk titik-titik dalam kuadran lain. 

Contoh :  Tentukan koordinat Cartesius dari titik yang koordinat kutubnya adalah (4, π/6). Tentukan juga koordinat kutub titik yang koordinat Cartesiusnya adalah (-3, 3 ).

Penyelesaian : Jika (r, θ) = (4, π/6), maka

x = 4 cos π/6 = 4 . 1/2 √3 = 2 √3 

 y = 4 sin π/6 = 4 . 1/2  = 2 

Jadi titik (4,π/6) dalam koordinat kutub dapat dinyatakan dalam koordinat Kartesius sebagai (2√3,2)

Misalkan (x, y) = (-3, √3 ), yaitu titik dalam kuadran II, maka θ harus tumpul

r² = (-3)² + ( √3 )² = 12 

r = 2√3

tan θ = √3/(-3)  

θ = (5π/6

Salah satu nilai (r, θ) adalah (2√3 , 5π/6).
Nilai lainnya adalah (-2√3 , -11π/6) dan (-2√3 , -π/6)

Ada kalanya grafik persamaan kutub dapat kita lukis dengan mencari persamaannya dalam system Cartesius. Sebagai contoh kita sajikan kasus di bawah ini.


Contoh 1 : Ubahlah A(1,2) ke bentuk koordinat polar
Penyelesaian :

r² = x² + y²

= 1² + 2²

= 5

jadi, r = √5

θ = arc tan y/x

=arc tan 2/1

= arc tan 2

= 63,44⁰

jadi didapatkan bahwa titik A(1,2) = (√5 ; 63,44⁰)

Contoh 2 : Ubahlah (4 ; 135⁰) ke bentuk koordinat kartesius 
Penyelesaian :
x = r . cos θ
   = 4 . cos 135⁰
   = 4 . -0,707
   = -2,828

y = r . sin θ 
   = 4 . sin 135⁰
   = 4 . 0,707
   = 2,828

jadi, (4 ; 135⁰) = (-2,828 ; 2,828)


PERSAMAAN KUTUB DAN GRAFIKNYA

Grafik persamaan kutub yang telah dibahas sebelumnya terdiri atas garis, lingkaran dan konik. Sekarang kita akan membahas grafik-grafik yang lebih rumit bentuknya, yaitu kardioid, limason, mawar dan spiral. Walaupun bentuk grafiknya rumit, namun persamaannya tetap sederhana kalu digunakan persamaan kutub. Dituangkan dengan koordinat siku-siku, persamaannya tidak lagi sederhana. Jadi kita dapat melihat keuntungan adanya system koordinat ini. Ada kurva-kurva yang persamaannya sederhana dalam suatu system dan ada kurva yang persamaannya sederhana dalam system lain. Sifat demikian akan kita gunakan kelak untuk memecahkan suatu persoalan dengan memilih suatu system koordinat yang tepat.

Sifat simetri dapat membantu kita menggambar sebuah grafik. Di bawah ini ada beberapa pengujian kesimetrian yang cukup dalam koordinat kutub. Kebenarannya dapat dilihat pada gambar yang bersangkutan.

1. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x (yaitu sumbu kutub dan perpanjangannya ke kiri) apabila θ diganti dengan -θ menghasilkan persamaan yang sama 

2. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y (yaitu garis θ = π/2) apabila θ diganti dengan π-θ menghasilkan persamaan yang sama 

3. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal, apabila r diganti –r menghasilkan persamaan yang sama 

Karena penggambaran banyak titik di dalam koordinat kutub, maka kemungkinan adanya simetri tidak teridentifikasi oleh ketiga tes ini.

Kardiod dan Limason
Kita perhatikan persamaan yang berbentuk

r = a ± b cos θ                   r = a ± b sin θ

a, b konstanta yang positif. Grafiknya dinamakan limason, di mana dalam hal khusus yaitu untuk a = b disebut kardiod. Grafiknya untuk tiap-tiap kasus dapat dilihat pada gambar dibawah ini :

Lemniskat
Grafik dari:

r² = ± a cos 2θ                        r² = ± a sin 2θ

dinamakan lemniskat, dan berbentuk angka delapan.
Maka grafiknya adalah simetrik terhadap sumbu x dan sumbu y (garis θ = π/2). Jadi simetrik juga terhadap titik asal. Daftar nilai dan grafik diperlihatkan pada gambar dibawah ini :

Mawar
Grafik persamaan kutub yang berbentuk

r = a cos nθ                   r = a sin nθ

adalah kurva-kurva berbentuk bunga yang dinamakan mawar. Banyaknya daun mawar itu adalah n apabila n ganjil dan 2n apabila n genap.

Spiral
Grafik persamaan r = aθ disebut spiral Archimedes; grafik persamaan r = ae^(𝖻θ) dinamakan spiral logaritma.

BAB IV. ELLIPS, PARABOLA, dan HIPERBOLA

A. Ellips

     Ellips adalah himpunan semua titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya. untuk setiap titik T berlaku |TF₁| + |TF₂| = 2a

Titik F₁ dan F₂ disebut titik apu atau fokus.

AB disebut sumbu panjang : |AB| = 2a

CD disebut sumbu pendek

Titik-titik A, B, C dan D disebut puncak-puncak ellips.

|TF₁| + |TF₂| = PQ = 2a

Kedua ruas dikuadratkan :

Kedua ruas dikuadratkan lagi :

Karena a > 0 maka a² - c² > 0 maka a² - c² = b²

Hasilnya,

Persamaan Ellips diatas adalah

Dan 

Persamaan untuk Ellips diatas adalah

untuk ellips yang mayornya horizontal, jika kita memindahkan ke titik pusat (h,k). maka persamaan ellip nya adalah

B. HYPERBOLA

Hiperbola adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang dimana selisih jarak titik terhadap dua titik fokusnya (F₁ dan F₂) konstan

|PF₁| − |PF₂| = ± 2a

c² = a²  + b²

Hiperbola 1

Memiliki fokus (±c, 0) dimana c² = a²  + b², titik puncak (±a, 0) dan asimtoot nya adalah y = ± (b/a)x

Hiperbola 2

Memiliki fokus (0, ±c) dimana c² = a²  + b², titik puncak (0, ±a) dan asimtoot nya adalah y = ± (a/b)x

C. PARABOLA 

    Parabola adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik dan suatu garis tertentu.

Gambar 1

 Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu x, titik puncak parabola berimpit dengan titik asal tetapi parabolanya terletak di setengah bidang sebelah kiri (Gambar 2) maka persamaan parabolanya adalah y²= -2px

Gambar 2

 Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu x, titik puncak parabola berimpit dengan titik asal tetapi parabolanya terletak di setengah bidang sebelah kanan (Gambar 3) maka persamaan parabolanya adalah y²= 2px

Gambar 3

Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu y, titik puncak parabola berimpit dengan titik asal tetapi parabolanya terletak di setengah bidang sebelah atas (Gambar 4) maka persamaan parabolanya adalah x²= 2py

Gambar 4

Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu y, titik puncak parabola berimpit dengan titik asal tetapi parabolanya terletak di setengah bidang sebelah bawah (Gambar 5) maka persamaan parabolanya adalah x²= -2py